\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\footnote
	{
		本文是顾樵《数学物理方法》，吴崇试《数学物理方法》的学习笔记。参考：小时百科。
		使用了AI辅助创作。
	}
	由于作者水平有限，笔记可能存在疏漏，以课本为准。
	
	\section{预备知识：什么是微分方程}
	\footnote{本节内容整合自其余笔记}
	\textbf{微分方程}是含有函数各阶导数项的方程。
	微分方程与代数方程有很大不同：微分方程的解是一个\textbf{函数}，而代数方程的解只是一个\textbf{数}。
	根据自变量的个数，微分方程可被分为常微分方程ODE与偏微分方程PDE。
	ODE只涉及仅含一个自变量的函数，而PDE涉及包含多个自变量的函数。

	例如，一个ODE方程形如
	$$u=u(t) \qquad \dv{u}{t} = f(u,t)$$
	这个ODE中，$u$只是关于$t$的函数，并且这个微分方程只包括$u$关于$t$的导数项$\dv{u}{t}$。
	
	而一个PDE方程形如
	$$
		u=u(x,y,z,t) \qquad \pdv{u}{t} = D \laplacian{u}
	$$
	其中 $\laplacian{u} = \pdv[2]{u}{x}+\pdv[2]{u}{y}+\pdv[2]{u}{z}$。
	这个PDE中，$u$是关于$x,y,z,t$的多元函数，且微分方程包括$u$关于$x,y,z,t$的导数项等。
	
	\section{预备知识：定解条件}
	除微分方程本身之外，我们还需要初始条件($t=t_0$时刻$u$的值、导数值)与边界条件($u$在边界上的值或者导数值)才能具体求解一个微分方程问题，
	所需条件的具体类型与数量取决于微分方程的形式与问题实际等。
	没有给定初始条件与边界条件，求解微分方程一般是不可行的。
	
	这是微分方程与代数方程的另一个重大区别。
	例如，对于简单的代数方程$ax^2+bx+c=0$，我们有求根公式，
	只需代入$a,b,c$的值就能立刻得到解$x_1, x_2$；
	而对于微分方程，一般不存在这样的“求根公式”；
	此外，随着边界条件的不同，解的具体形式很可能不同。

	一个ODE的例子，其需要$N$的初始大小：
	\begin{equation}
		N = N(t), 
		t \ge t_0 ,
		\left \{
		\begin{aligned}
			\dv{N(t)}{t} &= -\lambda N(t) \\
			N(t = t_0) &= N_0 \\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	一个PDE的例子，其需要$u$在初始时刻的值与导数值、$u$在边界上的值等。
	\begin{equation}
		u = u(x, t), 
		x \in [x_0, x_n],
		t \ge t_0,
		\left \{
		\begin{aligned}
			\pdv[2]{u}{t} &= c^2 \pdv[2]{u}{x}\qquad \text{波动方程}\\
			u(x,t_0) &= f(x) \qquad \text{初始条件}\\
			\pdv{u}{t}|_{t=t_0} &= g(x) \qquad \text{速度初始条件}\\
			u(x_0,t) &= l(t) \qquad \text{左侧边界条件}\\
			u(x_n,t) &= r(t) \qquad \text{右侧边界条件}\\
		\end{aligned}
		\right. ,
	\end{equation}

	
	\newpage	
	\section{预备知识：一类ODE的解}
	我们先说明一类非常简单的ODE的解法。	
	\subsection{一阶ODE}
	我们先要解这样一个ODE：
	\begin{equation}
		f=f(t) \qquad \dv{f}{t} = \lambda f
	\end{equation}
	其中$\lambda$是实数。他的解非常简单：
	\begin{equation}
		f(t) = Ae^{\lambda t}
	\end{equation}	
	其中$A$是系数，应当由初始条件确定。
	为了验证这个解是可行的，我们只需将其代回原方程检验。
	但是，如果要证明“这个解是完备的”，那就有点超纲了。
	
	\subsection{二阶ODE}
	更复杂一点的，我们还要解这样一个ODE：
	\begin{equation}
		f=f(t) \qquad  \dv[2]{f}{t} = \lambda f
	\end{equation}
	由于这是一个二阶ODE，其必有两个线性无关的解。
	为了求解，我们最好分类讨论$\lambda$：
	\begin{itemize}
		\item $\lambda > 0$：
		\begin{equation}
			f(t) = A_1 e^{\sqrt{\lambda} t} + A_2 e^{- \sqrt{\lambda} t}
		\end{equation}
		\item $\lambda = 0$：
		\begin{equation}
			f(t) = A_1 + A_2 t
		\end{equation}		
		\item $\lambda < 0$：
		\begin{equation}
			f(t) = A_1\cos(\sqrt{-\lambda} t) + A_2 \sin(\sqrt{-\lambda} t)
		\end{equation}				
		
	\end{itemize}
	其中 $A_1,A_2$均为系数。
	
	若$\lambda < 0$，则$-\lambda > 0$，因此$\sqrt{-\lambda} $是“合法”的。
	在这种情况下，我们发现解具有周期性，“本质上”这是复指数函数的性质。
	
	更数学地说，
	如果我们把$\dv{~}{t}$看作矩阵$A$，$f$看作向量$x$，
	那么求解ODE $\dv{f}{t} = \lambda f$相当于求解矩阵的本征向量$Ax=\lambda x$。
	
	别看这些结论简单，我们之后将大量使用这些结论，
	\textsl{保证令初学者昏昏欲睡}。

	\newpage
	
	\section{一些简单的PDE}
	我们列举一些常见的二元PDE：
	\begin{equation}
		u = u(x,t) \qquad 
		\begin{aligned}
			\pdv[2]{u}{t} &= c^2 \pdv[2]{u}{x} & \qquad \text{波动方程} \\
			\pdv{u}{t} &= D_f \pdv[2]{u}{x} & \qquad \text{扩散方程}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	\begin{equation}
		u=u(x,y) \qquad \pdv[2]{u}{x} + \pdv[2]{u}{y} = 0 \qquad \text{Laplace 方程} 
	\end{equation}
	\begin{equation}
		 \Psi = \Psi(x,t) \qquad i \hbar \pdv{\Psi}{t} = (-\frac{\hbar}{2m} \pdv[2]{\Psi}{x} + V(x)\Psi)  \qquad \text{薛定谔方程} 
	\end{equation}

	我们上文说“没有边界条件与初始条件，求解PDE一般是不可行的”，
	但为了避免边界条件过多干扰思路，因此我们先“不考虑”边界条件。
	严格地来说，这么做是不严谨的。
	
	\newpage
	\section{波动方程}
	\subsection{构造本征函数}
	假设我们要求解波动方程，即求解$u$的函数形式：
	\begin{equation}\label{wave_eq}
		u = u(x,t) \qquad \pdv[2]{u}{t} = c^2 \pdv[2]{u}{x}
	\end{equation}
	首先我们假设，解$u=u(x,t)$可以写为一组“本征解”$u_n(x,t)$的线性组合
	\footnote
	{
		为什么我们可以叠加解？
		因为原PDE是线性的。比如若 $u_1, u_2$分别满足$\pdv[2]{u_1}{t} = c^2 \pdv[2]{u_1}{x}$, $\pdv[2]{u_2}{t} = c^2 \pdv[2]{u_2}{x}$
		那么他们的线性组合，$c_1 u_1 + c_2 u_2$，也满足$\pdv[2]{(c_1 u_1 + c_2 u_2)}{t} = c^2 \pdv[2]{(c_1 u_1 + c_2 u_2)}{x}$
		对于非线性的PDE，就一般不能如此操作。
	}；
	形象地说，本征解是构成解的“砖块”、解由本征解“搭建”而成：
	\begin{equation} \label{wave_eq_sum}
		u = \sum_n c_n u_n
	\end{equation}
	那么问题转换为找出“砖块”的模样，即求解一个个单独的本征解$u_n$
	\begin{equation}\label{wave_eq_eigen}
		u_n = u_n(x,t) \qquad \pdv[2]{u_n}{t} = c^2 \pdv[2]{u_n}{x}
	\end{equation}	
	其次我们再假设，每一个本征解可以被分离变量、写为两个一元函数的乘积：
	\begin{equation} \label{multiplication}
		u_n(x,t) = X_n(x) T_n(t)
	\end{equation}
	将 \formula{multiplication} 代入 \formula{wave_eq_eigen}。
	由于$X$无关$t$，所以$X$可以被提到微分号$\pdv[2]{~}{t}$外面等。整理得
	\begin{equation}
		X_n \pdv[2]{T_n}{t} = c^2 T \pdv[2]{X_n}{x}
	\end{equation}
	两边再同除以$u_n = X_n T_n$
	\begin{equation}
		\frac{1}{T_n} \pdv[2]{T_n}{t} = c^2 \frac{1}{X_n} \pdv[2]{X_n}{x}
	\end{equation}
	现在，等号左边只与$T_n$相关，而右边只与$X_n$相关，
	因此我们可以让等号两边同等于一个常数 $- \lambda_n$，也称本征值或分离常数。
	$\lambda_n$允许有多种取值；
	事实上，$\lambda_n$的不同取值对应不同的本征解，即\formula{wave_eq_sum}中的一个个$u_n$。
	负号仅是为了方便下文书写。
	\begin{equation}
		\frac{1}{T_n} \pdv[2]{T_n}{t} = c^2 \frac{1}{X_n} \pdv[2]{X_n}{x} = - \lambda_n
	\end{equation}
	这使一个PDE分解为两个ODE，并产生一个本征值：
	\begin{equation}
		\left \{
		\begin{aligned}
			\pdv[2]{T_n}{t} = - \lambda_n T_n\\
			\pdv[2]{X_n}{x} = - \frac{\lambda_n}{c^2} X_n\\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	根据预备知识，由于ODE解的形式与$\lambda$的取值范围有关，
	因此我们需要分类讨论$\lambda_n$的取值范围。
	先假设$\lambda_n > 0$、$- \lambda_n < 0$，那么这组ODE的解是
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			T_n &= A \cos(\sqrt{\lambda_n} t) +  B \sin(\sqrt{\lambda_n} t) \\
			X_n &= C \cos(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) +  D \sin(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	或许我们还需要进一步考虑$\lambda_n = 0$或$\lambda_n < 0$的情况，不过我们先略去这部分。
	
	波动方程的一个本征解是
	\begin{equation} \label{wave_eq_eigen_solo}
		u_n = X_n T_n= [A \cos(\sqrt{\lambda_n} t) +  B \sin(\sqrt{\lambda_n} t)] [C \cos(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) +  D \sin(\sqrt{\lambda_n/c^2} x)]
	\end{equation}
	最终的解是所有本征解的线性组合：
	$$
	u = \sum_n c_n u_n
	$$
	
	尽管没有明确提及边界，但是在假定能将解取为一组本征解的线性组合、并进行变量分离时，
	我们已经默认了边界应当具有某些性质。
	
	\subsection{本征函数的进一步探讨}
	
	\textbf{第一个问题}
	
	\formula{wave_eq_eigen_solo} 相当于：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
		u_n = &+~AC \cos(\sqrt{\lambda_n} t) \cos(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) \\
		&+ ~AD \cos(\sqrt{\lambda_n} t) \sin(\sqrt{\lambda_n/c^2} x)\\
		&+ ~BC \sin(\sqrt{\lambda_n} t) \cos(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) \\
		&+ ~BD \sin(\sqrt{\lambda_n} t) \sin(\sqrt{\lambda_n/c^2} x)\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	即
	一个本征解包括以下部分
	\begin{equation}
		\{
		\cos(\omega t) \cdot \cos(kx),  
		\cos(\omega t) \cdot \sin(kx), 
		\sin(\omega t) \cdot \cos(kx), 
		\sin(\omega t) \cdot \sin(kx)
		\}
	\end{equation}
	这有点像一组同频率的驻波。
	也就是说，波动方程的本征解是一个驻波、波动过程可以写为各类驻波的叠加。
	
	将其与简谐驻波的“标准形式”对比
	\begin{equation}
		u = A \cos(\omega t) \cos(kx)
	\end{equation}
	我们发现以下重要关系：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\lambda_n &= \omega^2 \qquad \text{本征值的含义}\\
			k^2 &= \omega^2/c^2  \qquad \text{波的本构关系（也称“色散关系”）}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}

	有小伙伴可能会问，啊，那我们如何应对平时所说的“行波”$\cos{(\omega t - kx)}$？
	事实上，根据三角公式，$\cos{(\omega t - kx)}=\cos{\omega t}\cos{kx} + \sin{\omega t}\sin{kx}$，
	行波也可以看作驻波的特定组合。容易论证，振幅、相位等因素都由各种驻波的“含量”确定。
	
	\textbf{第二个问题}
	
	所有的$\lambda_n$，或者说，波频率，都可行吗？
	或许在没有边界的情况下是这样的。
	然而 \textsl{淇则有岸，隰则有泮}，问题总要有一个范围。
	现在，我们引入固定边界条件、假定左侧、右侧边界都是固定的：
	\begin{equation}
		u(0,t) = 0 \qquad u(L,t) = 0
	\end{equation}
	代入\formula{wave_eq_eigen_solo}的$X$部分，我们发现，
	一方面，$u_n$中所有$\cos \sqrt{{\lambda_n/c^2}}x$的项都因不符合左侧边界$u(0,t)=0$而不能存在；
	另一方面，对于$\sin \sqrt{{\lambda_n/c^2}}x$项，由于右侧边界$u(L,t) = 0$，
	\begin{equation}
		\sin \sqrt{{\lambda_n/c^2}}L = 0 
		\Rightarrow \sqrt{\lambda_n/c^2} L = \pi N
		\Rightarrow \lambda_n = \frac{\pi^2 c^2}{L^2} N^2 
		\qquad N=1,2,3,...
	\end{equation}
	因此由于边界的约束，$\lambda_n$，以及由此导出的$\omega_n$与$k_n$，是离散的。

	总之，\textbf{边界限制了解的可行形式}。比如在这个例子中，只有特定频率、特定形状的驻波被允许存在。
	看来“量子化”现象不仅仅是量子力学的专利；在经典力学中，物理量的取值也可以是离散的。
	
	\textbf{第三个问题}
	
	我们沿用上文的边界条件	$u(0,t) = 0 \quad u(L,t) = 0$，举一个具体例子说明边界如何约束解的可行形式。
	比如说，在固定边界下，可能存在$\lambda_n \le 0$的解吗？
	
	若$\lambda_n = 0$，则
	$$\lambda_n = 0 \Rightarrow X = C+Dx$$
	若$\lambda_n < 0$，则
	$$
	\lambda_n < 0 \Rightarrow X_n = C e^{\sqrt{-\lambda_n/c^2} x} + D e^{-\sqrt{-\lambda_n/c^2} x}
	$$
	考虑到固定边界，我们只能找到$u=0$的平凡解。
	看来，对于波动方程，至少在固定边界的情况下，我们用不到这个范围内的$\lambda_n$，
	
	\newpage
	
	\section{扩散方程}
	扩散方程是：
	\begin{equation}\label{diff_eq}
		u = u(x,t) \qquad \pdv{u}{t} = D_f \pdv[2]{u}{x}
	\end{equation}
	同上述一样，我们定出本征解、分离变量并代回原方程：
	\begin{equation}\label{diff_eq_eigen}
		u = \sum_n c_n u_n 
		\qquad u_n = X_n(x) T_n(t) 
		\qquad X_n \pdv{T_n}{t} = D_f T_n \pdv[2]{X_n}{x}
	\end{equation}
	整理后，设两端同时等于分离常数$-\alpha_n$：
	\begin{equation}
		\frac{1}{D_f T_n} \pdv{T_n}{t} = \frac{1}{X_n} \pdv[2]{X_n}{x} = -\alpha_n
	\end{equation}
	(习惯上将$D_f$与$T$写在一块，仅仅在设置常数前做一步除法)
	因此,
	\begin{equation}
		\left \{
		\begin{aligned}
			\pdv{T_n}{t} = - D_f \alpha_n T_n\\
			\pdv[2]{X_n}{t} = - \alpha_n X_n\\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	喜闻乐见地分类讨论$\alpha_n$的取值范围：
	\begin{itemize}
		\item $\alpha_n > 0$:
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				T_n &= A e^{-D_f \alpha_n t} \\
				X_n &= C \cos(\sqrt{\alpha_n} x) +  D \sin(\sqrt{\alpha_n} x) \\
			\end{aligned}
		\end{equation}
		\item $\alpha_n = 0$:
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				T_n &= A \\
				X_n &= C +Dx \\
			\end{aligned}
		\end{equation}
		\item $\alpha_n < 0$:
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				T_n &= A e^{-D_f \alpha_n t} \\
				X_n &= C e^{\sqrt{-\alpha_n}x} +  D e^{-\sqrt{-\alpha_n} x}  \\
			\end{aligned}
		\end{equation}
	\end{itemize}
	最终的解是
	$$
	u = \sum_n c_n u_n \qquad u_n = X_n T_n 
	$$
	我们仍需根据具体问题，进一步排除不符合边界的$\alpha_n$与$u_n$。
	
	或许你已经注意到，$\alpha_n = 0$ 对应的解$u_n = A(C+Dx)$是稳态扩散。
	稳态扩散时，尽管扩散仍在继续，但$u$不再随时间改变、并在空间线性分布。
	这可能是扩散方程的解的最简单形式。
	
	对比扩散方程与波动方程，我们发现
	扩散方程对时间具有一阶导数，而波动方程对时间具有二阶导数。
	根据ODE的性质，一阶ODE的解不会具有周期性，
	而二阶ODE的解可能具有周期性。
	因此，扩散往往不是可逆的，而波动往往和“周期性”相联系。
	
	\newpage
	\section{Laplace方程}
	Laplace方程是：
	\begin{equation}\label{poiss_eq}
		u = u(x,y) \qquad \pdv[2]{u}{x} + \pdv[2]{u}{y} = 0
	\end{equation}
	Laplace方程不显含时，对应静态的分布。
	乍看之下Laplace方程有点陌生，但实则非常常用。
	例如，无源区的电势分布满足Laplace方程
	\footnote
	{
		根据电势的定义
		$\varphi = - \div \bvec E$
		以及电场的高斯定理
		$\div \bvec E  = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
		我们得到
		$
		\laplacian{\varphi} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
		$，
		这是Poisson方程。在无源区 $\rho = 0$，
		因此Poisson方程简化为Laplace方程
		$
		\laplacian{\varphi}  = 0
		$，
		在二维情况下化为
		$
		\pdv[2]{\varphi}{x} + \pdv[2]{\varphi}{y} = 0
		$。
	}。
	
	接下来的内容或许都大同小异：取本征解、做分离变量、设本征值...
	\begin{equation}
		u = \sum_n c_n u_n \qquad u_n =  X_n Y_n \qquad \frac{1}{X_n} \pdv[2]{X}{x} = - \frac{1}{Y_n} \pdv[2]{Y_n}{y} = \alpha_n
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\left \{
		\begin{aligned}
			\pdv[2]{X_n}{x} = \alpha_n X_n\\
			\pdv[2]{Y_n}{y} = - \alpha_n Y_n\\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	分类讨论：
	\begin{itemize}
		\item $\alpha_n > 0$:
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				X_n &= A e^{\sqrt{\alpha_n} x} + B e^{-\sqrt{\alpha_n} x} \\
				Y_n &= C \cos(\sqrt{\alpha_n} x) +  D \sin(\sqrt{\alpha_n} x) \\
			\end{aligned}
		\end{equation}
		\item $\alpha_n = 0$:
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				X_n &= A + Bx \\
				Y_n &= C + Dy\\
			\end{aligned}
		\end{equation}
		\item $\alpha_n < 0$:
		与$\alpha_n > 0$类似，读者自证不难。
	\end{itemize}
	总之，
	$$
	u = \sum_n c_n u_n \qquad u_n = X_n Y_n 
	$$
	
	\newpage
	\section{Schrodinger方程}
	\subsection{构造本征函数；定态薛定谔方程}
	或许很多人接触PDE的求解是从Schrodinger方程开始的。
	\begin{equation}\label{schro_eq}
		\Psi = \Psi(x,t) \qquad i \hbar \pdv{\Psi}{t} = \hat H \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{\Psi}{x} +V(x) \Psi
	\end{equation}
	其中$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{~}{x} +V(x) $ 是哈密顿算符，代表系统的能量，前一项代表动能，后一项代表势能。
	其中$V(x)$强调势能是与位置有关的函数，$\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 是约化Planck常数。
	
	和往常一样，设本征解，分离变量，取本征值$E_n$...
	\begin{equation}
		\Psi = \sum_n c_n \Psi_n
		\qquad \Psi_n = \psi_n(x)T_n(t) 
		\qquad i\hbar \frac{1}{T_n} \pdv{T_n}{t} =  \frac{1}{\psi} \hat H \psi = E_n
	\end{equation}
	这使Schrodinger方程分解为两个ODE：
	\begin{equation}
		\left \{
		\begin{aligned}
			i \hbar \pdv{T_n}{t} &= E_n T_n \\
			\hat H \psi_n &= E_n \psi_n \\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	其中第一项$i \hbar \pdv{T}{t} = E_n T $的解是显然的：
	\begin{equation}
		T = A e^{- \frac{i E_n}{\hbar} t}  = A\cos(\frac{E_n}{\hbar}  t) - i A\sin(\frac{E_n}{\hbar}  t)
	\end{equation}
	第二项
	$
	\hat H \Psi_n = E_n \Psi_n, 
	-\frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{\psi_n}{x} +V(x) \Psi_n = E_n \psi_n
	$
	也被称为定态Schrodinger方程。
	这个方程的求解依赖于势能函数$V(x)$的具体形式、需要具体问题具体分析。
	正如格里菲斯在其著作中所提到的：“如果我们对$V(x)$的了解不足，那么我们的处理就只能到此为止。”
	然而，由于常微分方程求解的复杂性，只有当$V(x)$的形式相对简单时，定态Schrodinger方程才有解析解。
	对于一些经典的例子，可以在任何一本量子玄学教材中找到参考。
	
	尽管从形式上看，Schrodinger方程类似扩散方程，对时间一阶导数但对空间二阶导数；
	但是指数上的$i$给予了Schrodinger方程出乎寻常的性质：由于复指数是周期性的，因此解实则具有某种意义上的“周期性”，
	使其更类似波动，而非扩散。
	
	粒子的波函数仍是各个本征解的线性组合：
	\begin{equation} \label{schro_eq_sum}
		\Psi = \sum_n c_n \Psi_n 
		\qquad 
		\Psi_n =  \psi_n(x)T_n(t) 
	\end{equation}
	
	\subsection{盒中粒子定态Schrodinger方程}
	我们先探讨一种最简单的情况：粒子处于一个方形盒子（“势阱”）内，并且这一区间内$V(x)=0$。
	那么，定态Schrodinger方程是
	\begin{equation}
		-\frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{\psi_n}{x} = E_n \psi_n
	\end{equation}
	假设$E_n > 0$，那么解是
	\begin{equation} \label{schro_eq_sol}
		\psi_n = C \cos(\sqrt{\frac{2m E_n}{\hbar^2}} x) +  D \sin(\sqrt{\frac{2m E_n}{\hbar^2}} x) \\
	\end{equation}
	
	\subsection{本征态的进一步探讨}
	
	\textbf{第零个问题}
	
	在经典物理中，“本征解”似乎只是数学工具；
	但是在量子玄学中，“本征解”却具有超乎寻常的物理含义。
	这或许是为什么我们这么关心Schrodinger方程，特别是定态Schrodinger方程，的解析解。
	
	在量子玄学中，一个本征解对应一种本征态。
	粒子的波函数可以被写为一组能量本征态的线性组合 （\formula{schro_eq_sum}）。
	根据量子玄学公理，当这个粒子的能量被观测后，他会按概率随机“坍塌”入其中一个能量本征态$\Psi_n$，
	相应的概率是$P=\abs{c_n}^2 $（假定$\Psi$已归一化）。
	
	
	\textbf{第一个问题}
	
	对于定态Schrodinger方程$\hat H \Psi_n= E_n \Psi _n $，
	本征值$E_n$的含义是，该本征态$\Psi_n$的能量。
	
	我突然不知道如何论证这个结论，或许我们得从量子玄学公理出发，
	对一个本征态波函数求关于$\hat H$算符的期望
	\footnote{其中 $\braket{\Psi}{\Psi} = \int_{-L}^{L} \Psi^* \Psi \dd x$是内积，在表世界相当于对空间积分。}
	：
	\begin{equation}
		\bra{\Psi_n} \hat H \ket{\Psi_n}
		= \bra{T_n \psi_n} \hat H \ket{T_n \psi_n}
		= \braket{T_n}{T_n} ( \bra{\psi_n} \hat H \ket{\psi_n})
		= 1 \cdot E_n \braket{\psi_n}{\psi_n}
		= E_n
	\end{equation}
	（假定$\Psi_n$已归一化）得证。
	\textsl{你要不要看看你在写什么啊...}
	
	在无限深势阱中，
	对比量子玄学波函数的$\frac{2m E_n}{\hbar^2} x$
	与经典波函数的$kx$，
	发现$\sqrt{\frac{2m E_n}{\hbar^2}} = k = \frac{2 \pi}{\lambda}\Rightarrow p = h \lambda$，
	这就是量子玄学中的动量关系。
	当然这个“证明”不严谨，只是一个特例。
	
	\textbf{第二个问题}
	
	类似波动方程的问题2，在无限深势阱中，应有固定边界条件
	\begin{equation}
		\Psi (0,t) = 0 \qquad \Psi (L,t) = 0
	\end{equation}	
	简单计算就可以发现，同波动方程一样，边界条件限制了$E_n$的可行取值，亦即可行的本征解。
	
	\textbf{第三个问题}
	
	类似于波动方程的问题3，我们思考零能量的粒子是否能存在于这样一个势阱中？
	
	若$E_n = 0$，那么
	$$T = A \qquad X = C+Dx$$
	考虑到固定边界条件，很显然，不可能有满足边界条件的非零解。
	也就是说，在量子力学的方形盒子中，不可能存在“静止的”粒子；粒子至少得有一点能量，以及动量。
	
	$E_n<0$的情况也是类似的，方形盒子也不允许负能量粒子的存在。具体过程自证不难。
	
\end{document}